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一、泰勒展开的基本思想 多项式逼近原理 泰勒展开的目标是用一个无限项的多项式来逼近某个函数在某点附近的形态。这个多项式需要满足：在展开点处，原函数与多项式的前n阶导数值完全一致。 例如，对于sinx在x=0处展开，展开式为： \ (\sin x \approx x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \cdots\) 每一项的. 然后代入麦克劳林展开的一般公式 由于tanx是奇函数，展开式中只包含x的奇次幂项 展开式的特点： 收敛半径为π/2 展开式中的系数与伯努利数有关 随着阶数的增加，系数计算会变得复杂 应用注意事项： 当|x|<π/2时展开式收敛 在近似计算中，通常取前几项即可 始终保持好奇 (ノ๑`ȏ´๑)ノ︵⌨ 收录于 · 数学杂记 (待整理) 先问是不是 如 e x 2 泰勒展开，答案上直接把 x 2 带入 e x 的麦克劳林展开；但是如果对复合函数按定义一步一步求导，算出来书上的答案是错的 (题主问题详情) 很明显，题主推导过程出错了。

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麦克劳林级数 (Maclaurin's series)是泰勒级数 (Taylor's series)的 特殊情况，即当a=0时，f (x)的展开式。 这类公式不需要特意去背诵，它很长，也很容易记混。最好的办法就是自己尝试推导。 为什么要考察麦克劳林级数的收敛域？ 或者说考察麦克劳林级数收敛域的意义是什么？ 关注者 2 被浏览 麦克劳林级数是泰勒级数在 x 0 = 0 处展开的特殊形式，其表达式为： f (x) = ∑ n = 0 ∞ 1 n! f (n) (0) x n (| x | <r) 虽然麦克劳林公式是在0处展开但是并不是说其只可用于 x 0 = 0 的邻域范围，楼主之所以会产生麦克劳林公式只可用于 x 0 = 0 的错觉可能是在求极限的过程中习惯性用麦克劳林公式的常数项+一.

欧拉-麦克劳林公式的余项 \ (R_m\) 通常与高阶导数相关，对于 \ (f (x) = \frac {1} {x}\)，余项会随着 \ (m\) 的增大而减小。 需要注意的是，虽然渐近展开提供了高阶近似，但级数本身是发散的，因此实际计算中通常截断到有限项。

你还有什么不懂得，拿个题讲可能更容易懂。 我说的x趋于0才能使用是说极限式里面的x趋于0，然后你可以用麦克劳林公式做展开，而且必须是x＝0处展开，泰勒实际上就是高级的等价无穷小替换，如果说展开的高阶小o (x)不是趋于0的，那就错了。 以下是通过欧拉-麦克劳林公式处理发散级数的基本步骤和原理： 欧拉-麦克劳林公式简介：这个公式提供了一种方法，将一个函数在区间 [0, n]上的积分与该函数在n个离散点上的值以及函数的导数的离散求和之间的关系表达出来。 可以发现当x趋于x0时，Rn会趋于0，这就代表麦克劳林级数x趋于0时得到的结果是和原函数误差较小的，但是我们可以发现误差同样也取决于分母n+1的阶乘，当展开阶数足够高，那么也可以使得Rn误差较小！ 此时就不必使得x再趋于0。